Physics 1600 2 Quantitative methods
2.1 Physical quantities, units and dimensions, notation . . . . . . . 22
2.1.1 Types of physical quantities . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
notation
$ v'は、基本的に亜種を指す（微分ではない）
2.1.4 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
dimention analysis
［θ］とかはの無次元は1になるのね
2.1.5 Numerical values of physical quantities . . . . . . . . . 30
2.2 Mathematical functions, time derivatives and integrals . . . . . 31
2.2.1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Behaviors of commonly-used functions . . . . . . . . . . 35
function、出力が一つという定義なのは物理にも都合が良い
現象を記述する解が2つだと当然どっち？となるので
mathematical functions usually take dimensionless arguments and yield dimensionless values.
mathematical functions: sinとかcosとかexponentialとかみたいなやつ
arbitaryに定義するx(t)とかではない
そりゃそう、tを取っちゃってるしxを返す
e^nとかcos(n)とかが公式に登場する時にnはdimentionlessというのは分かる
$ f(x)=x_0e^{t/τ}とか
(t/τ)はdimentionless, τはtime constant
$ f(x)=x_0\cos(\omega t)
ωtはdimentionless, ωはangular frequency
exceptionsは3つ
$ f(t)=t^2+tとかは当然dimentionfulなargumentを取る
ただ、tは基本的にt^2とかt^3にしかならない
quadratic function $ f(t)= \sqrt{t^2+d^2}
これは、tというargumentを取っているが、実はうまく変形すればdimentionless argumentになる
$ f(t)=d\sqrt{1+(\frac{t}{d})^2}に変形できて、ここでのargumentはdで相殺されているblu3mo.icon*2
なので、$ [f(t] = [d] = [\frac{1}{t}] ということかな
log function
$ \log{Q_1}-\log{Q_2}はdimentionあるやんと思うけど、$ \log{\frac{Q_1}{Q_2}}と書けばdimentionless
実際logの引き算は$ Q_1, Q_2の比率の問題なので、単位関係ないというかんがえかた
2.2.3 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
$ \frac{df}{dx}は分数ではなく、それ単体の関数みたいなもの（$ deriv_x(f)みたいなイメージ）
なので分数としてdxをcancelしたりは本来はできない
2.2.4 Infinitesimal limits and differentials . . . . . . . . . . . 44
infinitesimal = 無限小
小要素がないので忘れそう
2.2.5 Second- and higher-order derivatives . . . . . . . . . . . 45
2.2.6 Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
integration
積分する時に中の変数を区別して'をつけるの、position/coordinateを使い分ける意識として大事 (p50)
FToCで、lower limitもちゃんと計算するのとても大事
t_0=0だとしても、f(t_0)が0とは限らない
逆に言えば、indefinite integralでCを使うなんてことは基本起こりえない
ちゃんとt_0を計算すれば、それがCになるので
2.3 Functions of time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Time derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Time integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.3 Time averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Integrating first-order differential equations . . . . . . . . . . . 55
first order differential equation
dQ/dt=-Q/t、みたいな感じで右辺に関数自体が入ってるタイプ
項を移動して解ける
2.4.1 Method 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TODO: 余裕あればこれと2の違いを追いたい
2.4.2 Method 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
approx
具体的にみるのは初めてだな
dropするpowerは一貫性が大事
2.5.1 Binomial approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
p63質問したいblu3mo.icon
$ (1+x)^a\approx 1+axはパッと出るくらい直感にしておきたい
2.5.2 Small-angle approximations . . . . . . . . . . . . . . . . 63
TODO: この証明は自力で一回出したいblu3mo.icon
一つ（例えばsinΘ=Θ）を使ったら、他のやつ（cos, tan）でも使う必要がある
θ << 1は、lim θ to 0ではない
のでsmall angle approxを使えたとしても、approximationの域を出ない意識は大事
2.5.3 Taylor expansion and approximations . . . . . . . . . . 64
https://gyazo.com/e72d71a9627ce5b68de5651161e20091
$ 1/n!と、$ f(x_0)^{(n)}と、$ (x-x_0)^nのnが一致しているblu3mo.icon*2
f(x_0)はconstantである理解大事
errorを理解したい
https://gyazo.com/0bac192605a76cb485789d9edfcb70d6
k+1で取る
本来よりexpansionは低めに推定しているので、errorはnegative
2.5.4 Example 1: binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
(a)(a-1)などの項だけが積み上がっていく
2.5.5 Example 2: exponential function . . . . . . . . . . . . . 66
e^x (x=0)は何階微分しても1なので、それ以外の部分だけが積み上がっていく
2.5.6 Example 3: sin θ and cos θ . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
data bookletにのってたsin/cosのexpansionの意味がわかる
θ=0の時にsinθ=0になるので、微分した結果sinθか-sinθになった項は消える
なので1/1!-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!みたいな感じになる
first termにtruncateすれば、sinθ=θ, cosθ=1になる
なるほどblu3mo.icon*3